Question

已知f（x）=a^2x-

1

2

a^x（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）＞

1

2

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的值域

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）令a^x=t（t＞0）换元，得到关于t的一元二次函数后利用配方法求值域；
（2）求解关于a^x的一元二次不等式，然后求解指数不等式得答案．

解答： 解：（1）令a^x=t（t＞0），
则f（x）=a^2x-

1

2

a^x=g（t）=t2-

1

2

t （t＞0）．
由g（t）=t2-

1

2

t=(t-

1

4

)2-

1

16

≥-

1

16

．
∴函数f（x）的值域为：[-

1

16

，+∞)；
（2）由f（x）＞

1

2

，得a2x-

1

2

ax＞

1

2

．
即2（a^x）²-a^x-1＞0，解得：ax＜-

1

2

（舍）或a^x＞1．
由a^x＞1．
若a＞1，解得：x＞0；
若0＜a＜1，解得：x＜0．
∴a＞1时，不等式f（x）＞

1

2

的解集为（0，+∞）；
0＜a＜1时，不等式f（x）＞

1

2

的解集为（-∞，0）．

点评：本题考查了换元法，考查了利用配方法求函数的值域，训练了不等式的解法，是中档题．