Question

10．已知p：直线x-2y+3=0与抛物线y²=mx（m≠0）没有交点；已知命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{5-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：若直线x-2y+3=0与抛物线y²=mx（m≠0）没有交点，
则由x-2y+3=0得x=2y-3，代入y²=mx得y²=m（2y-3），
得y²-2my+3m=0，
则由△=4m²-12m＜0，解得0＜m＜3，
若方程$\frac{{x}^{2}}{5-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1表示双曲线，
则m（5-2m）＜0，得m＞$\frac{5}{2}$或m＜0，
若p∨q为真，p∧q为假，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜3}\\{0≤m≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$得0＜m≤$\frac{5}{2}$，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥3或m≤0}\\{m＞\frac{5}{2}或m＜0}\end{array}\right.$得m≥3或m＜0，
综上实数m的取值范围是m≥3或m＜0或0＜m≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．