Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点为F₁、F₂，P是双曲线上的一点（P不在x轴上），△PF₁F₂的内切圆与x轴切与点A，且A到该双曲线渐近线的距离为$\frac{b}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 设三角形内切圆的切点为A，B，C，其中A在x轴上，那么|F₂A|-|F₁A|=|F₂C|-|F₁B|，又|CP|=|PB|，运用双曲线的定义，求出A的坐标，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设三角形内切圆的切点为A，B，C，
其中A在x轴上，P在右支上，C在PF₂上，B在PF₁上，
那么|F₂A|-|F₁A|=|F₂C|-|F₁B|，
又|CP|=|PB|，
所以|F₂A|-|F₁A|=|F₂C|-|F₁B|
=|F₂C|+|CP|-|F₁B|-|BP|=|F₂P|-|F₁P|=-2a，
又|F₂A|+|F₁A|=|F₁F₂|=2c，
而F₂（c，0），所以A点的横坐标为a，
由渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，可得A到渐近线的距离为d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{b}{3}$，
即有c=3a，则e=$\frac{c}{a}$=3．
故选B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用圆的切线的性质和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．