Question

19．某高校自主招生，发送面试通知书，将考生编号为1，2，3…n的n封面试通知书装入编号为1，2，3，…，n的n只信封中，调查表明恰好装错3只信封的概率为$\frac{1}{6}$
（1）确定n的值；
（2）写出装错信封的件数ξ的概率分布，并求其数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）有n封信装入n个的信封共有${A}_{n}^{n}$种装法，恰有3封信装错，即其它的n-3封信都装对了信封，剩下的3封信装错的组合共有2${C}_{n}^{3}$种，由此结合题意能求出n，
（2）由题意ξ=0，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）有n封信装入n个的信封共有${A}_{n}^{n}$种装法，
恰有3封信装错，即其它的n-3封信都装对了信封，剩下的3封信装错的组合共有2${C}_{n}^{3}$种，
∵调查表明恰好装错3只信封的概率为$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{2{C}_{n}^{3}}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{1}{6}$，解得n=5．
（2）由题意ξ=0，2，3，4，5
P（ξ=0）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{10}{120}$，
P（ξ=3）=$\frac{2{A}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{20}{120}$，
P（ξ=4）=$\frac{{9C}_{5}^{4}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{45}{120}$，
P（ξ=5）=$\frac{44{C}_{5}^{5}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{44}{120}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	3	4	5
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{10}{120}$	$\frac{20}{120}$	$\frac{45}{120}$	$\frac{44}{120}$

Eξ=$0×\frac{1}{120}+2×\frac{10}{120}+3×\frac{20}{120}+4×\frac{45}{120}$+$5×\frac{44}{120}$=4．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．