Question

18．（1）若命题“?x∈R，2x²-3ax+9＜0”为假命题，求实数a的取值范围；
（2）设p：|4x-3|≤1，命题q：x²-（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据特称命题为假命题，转化为命题的否定为真命题，利用判别式△进行求解即可．
（2）根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题p和q，再根据￢p是￢q的必要而不充分条件，可以推出p⇒q，再根据子集的性质进行求解；

解答 解：（1）若命题“?x∈R，2x²-3ax+9＜0”为假命题，
即命题“?x∈R，2x²-3ax+9≥0”为真命题，
则判别式△=9a²-4×2×9≤0，
则a²≤8，
即-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
即实数a的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．
（2）∵p：|4x-3|≤1；p：-1≤4x-3≤1，解得$\frac{1}{2}$≤x≤1，
由x²-（2m+1）x+m（m+1）≤0得m≤x≤m+1，
若￢p是￢q的必要而不充分条件，
则￢q⇒￢p，￢p推不出￢q，可得p⇒q，q推不出p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1≥1}\\{m≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得0≤m≤$\frac{1}{2}$，验证m=0和m=$\frac{1}{2}$满足题意，
∴实数m的取值范围为：m∈[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查充分条件必要条件的应用以及命题真假性的判断和应用，本题求解中涉及到了一元二次方程有根的条件，及集合间的包含关系，有一定的综合性．