Question

2．已知三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等边三角形，且PA=8，PB=PC=$\sqrt{73}$，AB=3，则三棱锥P-ABC外接球的体积为$\frac{76\sqrt{19}}{3}π$．

Answer 1

分析 由已知推导出PA⊥平面ABC，从而求出△ABC的外接圆的半径，进而求出三棱锥P-ABC外接球的半径，由此能求出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等边三角形，且PA=8，PB=PC=$\sqrt{73}$，AB=3，
∴由题意，PA⊥AB，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC，
△ABC的外接圆的半径为3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则R²=（$\sqrt{3}$）2+4²=19，
∴三棱锥P-ABC外接球的体积为V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{19}）^{3}$=$\frac{76\sqrt{19}}{3}$π．
故答案为：$\frac{76\sqrt{19}}{3}$π．

点评 本题考查三棱锥P-ABC外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．