Question

如图，边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在的平面相互垂直，且M、N分别为PB、AD中点．
（1）求证：MN∥面PCD；
（2）求直线PC与平面PNB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PC的中点G，连结MG、DG，由已知得四边形DNMG为平行四边形，由此能证明MN∥面PDC．
（2）连接BN、NC、PN，过点C作CH⊥BN，垂足为H，连结PH由已知得∠CPH为直线PC与平面PNB所成的角，由此能求出直线PC与平面PNB所成角的正弦值．

解答： （1）证明：取PC的中点G，连结MG、DG，在△PBC中，
∵M、G分别为PB、PC的中点，∴MG∥BC，且MG=

1

2

BC，又ND=

1

2

AD，
∴MG

∥

.

DN，故四边形DNMG为平行四边形，
∴MN∥DG，又DG?平面PDC，M?N平面PDC，
∴MN∥面PDC．…（6分）
（2）解：连接BN、NC、PN，因为面ADP⊥面ABCD，且PN⊥AD，
所以PN⊥面ABCD，又PN?面PNB，所以面PNB⊥面ABCD．
过点C作CH⊥BN，垂足为H，连结PH，∴CH⊥面PNB，
故∠CPH为直线PC与平面PNB所成的角，…（8分）
在正方形ABCD中，由已知条件，令∠ABN=∠BCH=θ，
∴CH=BCcosθ=4×

2

5

=

8

5

，…（10分）
在Rt△PNC中，∵PN=2

3

，NC=2

5

，∴PC=4

2

，
在Rt△CHP中，sin∠CPH=

CH

PC

=

8

4 2 × 5

=

10

5

．…（12分）

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．