Question

已知a＞0，且a≠1，f（log_ax）=

1

a2-1

(x-

1

x

)
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性；
（Ⅲ）若对于函数f（x），当θ∈R时，f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用换元法，令log_ax=t，则x=a^t；从而得到f（t）=

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a2-1

（a^t-a^-t）；从而写出f（x）；
（Ⅱ）先求函数f（x）=

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a2-1

（a^x-a^-x）的定义域，再由定义判断奇偶性，由函数的四则运算判断函数的单调性；
（Ⅲ）由以上知，f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0可化为f（a+cos2θ）＜f（6-4sinθ）；即a+cos2θ＜6-4sinθ；故a＜6-4sinθ-cos2θ=2（sinθ-1）²+1；从而化恒成立问题为最值问题求解．

解答： 解：（Ⅰ）令log_ax=t，则x=a^t；
∴f（t）=

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a2-1

（a^t-a^-t）；
故f（x）=

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（a^x-a^-x）；
（Ⅱ）f（x）=

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a2-1

（a^x-a^-x）的定义域为R，
f（-x）=

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a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x）；
故f（x）为奇函数，
当a＞1时，

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＞0，y=a^x是增函数，y=-a^-x是增函数；
故f（x）是增函数，
当0＜a＜1时，

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a2-1

＜0，y=a^x是减函数，y=-a^-x是减函数；
故f（x）是增函数，
故无论a取何值，f（x）是增函数；
（Ⅲ）f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0可化为
f（a+cos2θ）＜f（6-4sinθ）；
即a+cos2θ＜6-4sinθ；
故a＜6-4sinθ-cos2θ=2（sinθ-1）²+1；
∵sinθ∈[-1，1]，
∴2（sinθ-1）²+1≥1；
故实数a的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题，属于基础题．