Question

AB为圆O的直径，点E、F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）求ABCD与平面CDEF所成锐二面角的某三角函数值；
（Ⅲ）求多面体ABCDFE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥平面ABEF，AF⊥BF，由此能证明BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）取AB，CD，EF的中点M，P，N，∠MPN为所求二面角的平面角．由此能求出ABCD与平面CDEF所成锐二面角的正切值．
（Ⅲ）解作FA′⊥AB，EB′⊥AB，FD′⊥CD，EC′⊥CD，A′，B′，C′，D′为垂足，则V_ABCDFE=V_FA'D'-EB'C+2V_F-AA'D'D，由此能求出多面体ABCDFE的体积．

解答： （本题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF；
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF；   …（4分）
（Ⅱ）解：取AB，CD，EF的中点M，P，N（如图所示）
易证∠MPN为所求二面角的平面角．
根据题意MP=1，MN=

3

2

，
故tan∠MPN=

3

2

…（9分）
（Ⅲ）解：作FA′⊥AB，EB′⊥AB，FD′⊥CD，
EC'⊥CD，A′，B′，C′，D′为垂足，
则V_ABCDFE=V_FA'D'-EB'C+2V_F-AA'D'D=

1

2

×

3

2

×1×1+2×

1

3

×

1

2

×1×

3

2

=

5

12

3

． …（12分）

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．