Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$，
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）x的取值需满足2^x-1≠0，则x≠0，
即f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）由（1）知定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
则f（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）+f（-x）
=$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{-{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$+1=-1+1=0．
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查函数定义域和奇偶性的判断，根据奇偶性的定义结合指数幂的运算性质是解决本题的关键．