Question

15．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n-1=2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1，a_n-1=2a_n，即可得到通项公式，
（2）根据错位相减法即可求出前n项和

解答 解：（1）a₁=1，a_n-1=2a_n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
（2）b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=3×（$\frac{1}{2}$）⁰+5×（$\frac{1}{2}$）¹+7×（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n+1）（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$T_n=3×（$\frac{1}{2}$）¹+5×（$\frac{1}{2}$）²+7×（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=3+2×（$\frac{1}{2}$）¹+2×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+…+2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3+2（$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$）-（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ=5-（2n+5）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=10-（2n+5）（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．