Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx+c（a，b，c∈R），函数f（x）的两个极值点分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b-a+1的取值范围是（2，5）．

Answer 1

分析 由题意可知：f′（x）=x²+ax+2b，由x²+ax+2b=0的两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2b＞0}\\{f′（1）=1+a+2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，转化为在约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{y＞0}\\{1+x+2y＜0}\\{2+x+y＞0}\end{array}\right.$时，求z=y-x+1的取值范围，即可求得b-a+1的取值范围．

解答 解：由f（x）=$\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx+c，求导f′（x）=x²+ax+2b，
f（x）的两个极值点分别在区间（0，1）与（1，2）内，求导f′（x）=x²+ax+2b，
由x²+ax+2b=0的两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，
即$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2b＞0}\\{f′（1）=1+a+2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，令z=b-a+1，a=x，b=y，
∴转化为在约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{y＞0}\\{1+x+2y＜0}\\{2+x+y＞0}\end{array}\right.$时，求z=y-x+1的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），

目标函数转化为y=x+z-1，由图可知，z在（-1，0）处取得最小值2，在（-3，1）处取得最大值5，
∴b-a+1的取值范围（2，5）．
故答案为：（2，5）．

点评 本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．