Question

袋子A、B中均装有若干个大小相同的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

1

3

，从B中摸出一个红球的概率为p．
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

2

5

，求p的值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（I）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到结果．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止，随机变量ξ的取值为0，1，2，3；由n次独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是3m，而满足条件的是

1

3

，根据古典概型公式得到关于P的方程，解方程即可．

解答： 解：：（Ⅰ）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到
C₄²×（

1

3

）²（

2

3

）²×

1

3

=

8

81

．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，3；
由n次独立重复试验概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅⁰×（1-

1

3

）⁵=

32

243

；
P（ξ=1）=C₅¹×

1

3

×（1-

1

3

）⁴=

80

243

；
P（ξ=2）=C₅²×（

1

3

）²×（1-

1

3

）³=

80

243

；
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)2×

1

3

+

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2×

1

3

=

17

81

． 
随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	17 81

∴ξ的数学期望是Eξ=

32

243

×0+

80

243

×1+

80

243

×2+

17

81

×3=

131

81

．
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球．
试验发生的所有事件是3m，
而满足条件的是

1

3

m+2mp，
根据古典概型公式得到

1 3 m+2mp

2m

=

2

5

，
∴p=

13

30

．

点评：本题考查了离散型随机变量的分布列以及期望和方差的求法；解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则根据其性质运算要简单．