Question

12．直线y-1=k（x-3）被圆（x-2）²+（y-2）²=4所截得的最短弦长等于$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．

解答 解：圆的方程为圆（x-2）²+（y-2）²=4，圆心C（2，2），半径为2．
直线y-1=k（x-3），
∴此直线恒过定点（3，1），
当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（3，1）的连线垂直于弦，
弦心距为：$\sqrt{（2-3）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴所截得的最短弦长：2$\sqrt{4-2}$=$2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，应注意直线恒过定点．