Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ccosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=b．
（1）求角C的值；
（2）若c=1，且a=$\sqrt{3}b$，求角△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sinAcosC，根据sinC不为0，得到cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理及已知即可求得a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，ccosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=b，
∴利用正弦定理化简得：sinCcosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sinB=sinAcosC+cosAsinC，可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则C=30°；
（2）∵C=30°，c=1，
∴利用余弦定理可得：1=${a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab$，
又∵a=$\sqrt{3}b$，
∴解得：b=1，a=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．