Question

若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a1=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记b_n=

lgTn

lg(an+1)

，求数列{b_n}的前n项和为S_n，并求使S_n＞2014的n的最小值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,证明题,新定义,等差数列与等比数列

分析：（I）代入点，得到递推式，配方，由新定义，即可判断，再两边取对数，由等比数列的定义，即可得证；
（II）由对数的运算性质和等比数列的求和公式，即可得到；
（III）运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，通过判断n的范围解不等式，即可得到最小值．

解答： （I）证明：由题意得：an+1=

a

2 n

+2an，
即 an+1+1=(an+1)2，
则{a_n+1}是“平方递推数列”．                        
又有lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1）得
{lg（a_n+1）}是以lg（a₁+1）为首项，2为公比的等比数列；
（II）解：由（I）知lg(an+1)=lg(a1+1)•2n-1=2n-1，lgTn=lg(a1+1)(a2+1)…(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)=

1(1-2n)

1-2

=2n-1．
（III）解：bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
Sn=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2+

1

2n-1

，
又S_n＞2014，即2n-2+

1

2n-1

＞2014，
n+

1

2n

＞1008，
又 0＜

1

2n

＜1，
则n_min=1008．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查判断和运算能力，属于中档题．