Question

求使

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

取最小值时，点P（x，y）的坐标．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：计算题

分析：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y）则M=

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

≥2

2

，当AP与PC同向，BP与PD同向时取等号，设PC=λAP，PD=μBP，则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，所以当x=y=

1

2

时，M的最小值为2

2

．

解答： 解：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），
则M=

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

=|PA|+|PD|+PB|+|PC|
=（|AP|+|PC|）+（|BP|+PD|）
≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|=

2

+

2

=2

2

．
∴M≥2

2

，当AP与PC同向，BP与PD同向时取等号，设PC=λAP，PD=μBP，
则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=

1

2

，
所以当x=y=

1

2

时，M的最小值为2

2

．
故点P的坐标为（

1

2

，

1

2

）．

点评：本题主要考察了两点间距离公式的应用，属于基础题．