Question

4．如图所示，菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中点
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；　
（2）求此几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AH⊥EF，从而AH⊥AB，再推导出AH⊥BC，AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面AHC，从而平面AHC⊥平面BCE．
（2）过点C作CG⊥AB，则CG⊥AH，由此几何体的体积V=V_C-AHC+V_F-AHC+V_C-ABEH，能求出结果．

解答 证明：（1）在菱形ABEF中，∵∠ABE=60°，∴△AEF是正三角形，
又∵H是EF的中点，∴AH⊥EF，
又EF∥AB，∴AH⊥AB，
∵菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，菱形ABEF∩直角梯形ABCD=AB，
∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又AH∩AC=A，∴BC⊥平面AHC，
又BC?平面BCE，∴平面AHC⊥平面BCE．
解：（2）过点C作CG⊥AB，则CG⊥AH，
又AB∩AH=A，∴CG⊥平面ABEH，
∵AH=$\sqrt{3}$，∴S_AHEB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×（2+1）$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
V_C-ABEH=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）知CD⊥平面AHD，FH⊥平面AHD，
又${S}_{△AHD}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{F-AHC}=\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
${V}_{C-AHC}=\frac{1}{3}•CD•{S}_{△AHD}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴此几何体的体积V=V_C-AHC+V_F-AHC+V_C-ABEH=$\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．