Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}+a{x^2}，x＞0\\ \frac{1}{e^x}+a{x^2}，x＜0\end{array}$，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，-$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• C． （-∞，-$\frac{{e}^{3}}{9}$）
• D． （-∞，-$\frac{{e}^{4}}{16}$）

Answer 1

分析 由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e^x+ax=0有两个正根，即-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有两个正根，设g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，设g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求导g′（x）=-$\frac{{e}^{2}{x}^{2}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$=-$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，要使-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有两个正跟，即使g（x）与y=a有两个交点，则实数a的取值范围（-∞，-$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

解答 解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，
只需要e^x+ax²=0有两个正根，
即-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有两个正根，
设g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求导g′（x）=-$\frac{{e}^{2}{x}^{2}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$=-$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递增，
令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递减，
∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=-$\frac{{e}^{2}}{4}$，
要使-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有两个正根，即使g（x）与y=a有两个交点，
∴实数a的取值范围（-∞，-$\frac{{e}^{2}}{4}$），
故选B．

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查导数的求导公式，考查计算能力，属于中档题．