Question

11．O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，过F的直线交C于A，B且$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{BF}$，则△OAB的面积为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意设直线AB方程为x=my+1，代入抛物线方程，由$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{BF}$，则y₁=-2y₂，求得m的值，由|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=3$\sqrt{2}$，S_△OAB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•|y₁-y₂|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：∵抛物线y²=4x，∴焦点F（1，0）
设直线AB方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB的方程与抛物线的方程联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{BF}$，
∴y₁=-2y₂，②
联立①和②，消去y₁，y₂，
解得：m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•|y₁-y₂|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．