Question

4．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m，如果池底每1m²的造价为150元，池壁每1m²的造价为120元，设水池底面一边的长度为xm
（1）若水池的总造价为W元，用含x的式子表示W．
（2）怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价W是多少元？

Answer 1

分析 （1）分别计算池底与池壁的造价，可得W关于x的函数表达式；
（2）利用基本不等式，可求总造价最低及最低总造价．

解答 解：（1）因水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为$\frac{4800}{3x}$m，--（1分）
根据题意，得W=150×$\frac{4800}{3}$+120（2×3x+2×3×$\frac{4800}{3x}$）=240000+720（x+$\frac{1600}{x}$）
∴所求的函数表达式为：W=720（x+$\frac{1600}{x}$）+240000（x＞0）-----------（6分）
（2）由（1）得W=720（x+$\frac{1600}{x}$）+240000≥720×2x•$\frac{1600}{x}$+240000-----------（9分）
=720×2×40+240000=297600．-----------（10分）
当且仅当x=$\frac{1600}{x}$，即x=40时，W有最小值297600．
此时另一边的长度为$\frac{4800}{3x}$=40m（---11分）
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．---------（12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．