Question

9．已知函数$f（x）={x^{-{k^2}+k+2}}$（k∈Z）在（0，+∞）上为增函数．
（1）求k值，并写出相应的f（x）的解析式；
（2）对于（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在正实数m，使得函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x在区间[-1，2]上的值域为$[-4，\frac{17}{8}]$？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）依题意，-k²+k+2＞0，解得k值，进而可得f（x）的解析式；
（2）由（1）知g（x）=-mx²+（2m-1）x+1，（其中m＞0，x∈[-1，2]），结合函数g（x）在区间[-1，2]上的值域为$[-4，\frac{17}{8}]$，可得满足条件的m值．

解答 （10分）解：（1）（4分）依题意，-k²+k+2＞0，即k²-k-2＜0⇒-1＜k＜2，
又k∈Z，∴k=0或1，故f（x）=x²．
（2）（6分）由（1）知g（x）=-mx²+（2m-1）x+1，（其中m＞0，x∈[-1，2]），
因而，g（x）图象的开口向下，对称轴为$x=\frac{2m-1}{2m}$，
由于g（-1）=2-3m，g（2）=-1∈$[-4，\frac{17}{8}]$，$g（\frac{2m-1}{2m}）=\frac{{4{m^2}+1}}{4m}$，
结合图象，只可能有2-3m=-4⇒m=2，此时$\frac{{4{m^2}+1}}{4m}=\frac{17}{8}$符合题意．
所以，存在实数m=2满足题意．
[本题因为g（2）=-1∈$[-4，\frac{17}{8}]$，所以不可能出现$\frac{{4{m^2}+1}}{4m}=-4$的情形．]
[注：本题第（1）问较易，第（2）问较难]

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．