Question

若直线

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则ab的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  1

  8

  ]
• B、（0，

  1

  8

  ]
• C、（0，8]
• D、[8，+∞）

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：由题意可得圆心（2，1）在直线

x

a

+

y

b

=1上，即

2

a

+

1

b

=1．根据ab=ab（

2

a

+

1

b

）=2b+a≥2

2ab

，由此解一元二次不等式求得ab的范围．

解答： 解：圆x²+y²-4x-2y-8=0，即（x-2）²+（y-1）²=13，表示以（2，1）为圆心，半径等于

13

的圆．
∵直线

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，
∴故圆心（2，1）在直线

x

a

+

y

b

=1上，即

2

a

+

1

b

=1．
∴ab=ab（

2

a

+

1

b

）=2b+a≥2

2ab

，
即 

ab

（

ab

-2

2

）≥0，
即

ab

≥2

2

，解得 ab≥8，当且仅当

2

a

=

1

b

时，等号成立，
故选：D．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．