题目内容
已知a＞b＞c，求证：ab2+bc2+ca2＜a2b+b2c+c2a．
考点：不等式的证明
专题：证明题
分析：作差a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2后重新分组整理，可得a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=（b-c）（a-b）（a-c），利用已知a＞b＞c，易知（b-c）（a-b）（a-c）＞0，从而可证结论成立．
解答：
证明：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2
=a2（b-c）+a（c2-b2）+bc（b-c）
=a2（b-c）+（ab+ac）（b-c）+bc（b-c）
=（b-c）（a2-ac-ab+bc）
=（b-c）[a（a-c）-b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c），
因为a＞b＞c，
所以b-c＞0，a-b＞0，a-c＞0，
所以（b-c）（a-b）（a-c）＞0；
即a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2；
所以ab2+bc2+ca2＜a2b+b2c+c2a．
=a2（b-c）+a（c2-b2）+bc（b-c）
=a2（b-c）+（ab+ac）（b-c）+bc（b-c）
=（b-c）（a2-ac-ab+bc）
=（b-c）[a（a-c）-b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c），
因为a＞b＞c，
所以b-c＞0，a-b＞0，a-c＞0，
所以（b-c）（a-b）（a-c）＞0；
即a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2；
所以ab2+bc2+ca2＜a2b+b2c+c2a．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，考查转化思想与变形化积的能力，属于难题．
练习册系列答案
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设复数z=
（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a=（ ）
| a+i |
| 1-i |
| A、-1 | B、0 | C、1 | D、2 |
在三角形ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则三角形的面积S的值是（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、2
|
下列四个命题中，正确的是 （ ）
| A、已知命题p：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p∧￢q”是真命题 | ||
| B、已知ξ服从正态分布N（0，ξ2），且P（-2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3 | ||
| C、设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位 | ||
D、已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是
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