题目内容
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+4（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试构造一个数列{bn}（写出{bn}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有bn＜an，且
=2，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-
（n∈N*），求数列{cn}的变号数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试构造一个数列{bn}（写出{bn}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有bn＜an，且
| lim |
| n→∞ |
| an |
| bn |
（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-
| 4 |
| an |
考点：数列的应用
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）利用n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5，可求数列{an}的通项公式；
（2）构造数列bn=n-k，对任意的正整数n都有bn＜an，可得k＞3，即可得出结论；
（3）验证n≥2时，有2个变号数；判断n=1时变号数有1个，最后综合答案可得．
（2）构造数列bn=n-k，对任意的正整数n都有bn＜an，可得k＞3，即可得出结论；
（3）验证n≥2时，有2个变号数；判断n=1时变号数有1个，最后综合答案可得．
解答：
解：（1）∵Sn=n2-4n+4，
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5，
n=1时，a1=1，
∴an=
…（4分）
（2）要使
=2，可构造数列bn=n-k，
∵对任意的正整数n都有bn＜an，
∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2，
∴k＞3，
又bn≠0，∴k∉N*，∴bn=n-
，等等． …（10分）
（3）由题设cn=
，
当n≥2时，cn•cn+1＜0，可得
＜n＜
或
＜n＜
，
∴n=2或n=4；…（14分）
又∵c1=-3，c2=5，∴n=1时也有c1•c2＜0．
综上得 数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3． …（16分）
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5，
n=1时，a1=1，
∴an=
|
（2）要使
| lim |
| n→∞ |
| an |
| bn |
∵对任意的正整数n都有bn＜an，
∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2，
∴k＞3，
又bn≠0，∴k∉N*，∴bn=n-
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（3）由题设cn=
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当n≥2时，cn•cn+1＜0，可得
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| 2 |
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| 2 |
∴n=2或n=4；…（14分）
又∵c1=-3，c2=5，∴n=1时也有c1•c2＜0．
综上得 数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3． …（16分）
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查新定义，解题的关键是理解新定义，判断数列的单调性，从而确定数列的变号数．
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