Question

13．已知函数f（x）=e^2x-1-2x．
（1）求f（x）的极值；
（2）求函数g（x）=$\frac{lnx}{f（x）-{e}^{2x-1}}$在[1，e²]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2e^2x-1-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
故f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=0，无极大值；
（2）g（x）=$\frac{lnx}{f（x）{-e}^{2x-1}}$=-$\frac{lnx}{2x}$，g′（x）=$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，
故g（x）在[1，e]递减，在（e，e²]递增，
故g（x）_min=g（e）=-$\frac{1}{2e}$，
∵g（1）=0，g（e²）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴g（x）_max=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．