Question

12．已知等比数列{a_n}满足a_n+a_n+1=9•2^n-1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=（-1）ⁿ$\frac{{9•{2^{n-1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n-2对任意正整数n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等比数列，利用a_n+a_n+1=9•2^n-1求出a₁和q，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）根据{a_n}是等比数列求出b_n的通项公式，利用相消法可得数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）根据等比数列的前n项和公式求出S_n，由不等式S_n＞ka_n-2对任意正整数n恒成立，分离参数k，转化为函数问题，利用单调性可得实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意，设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n+a_n+1=9•2^n-1，
令n=1，可得a₁+a₂=9…①
令n=2，可得a₂+a₃=18，即…②
由①②解得：q=2，a₁=3．
∴等比数列{a_n}的通项公式为：${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$．
（2）∵a_n+a_n+1=9•2^n-1，b_n=（-1）ⁿ$\frac{{9•{2^{n-1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$×（-1）ⁿ=$（-1）^{n}（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$-（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}）+$…+$（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）×（-1）^{n}$=$-\frac{1}{{a}_{1}}+（-1）^{n}×\frac{1}{{a}_{n+1}}$
∵${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$．
∴${a}_{n+1}=3•{2}^{n}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}$$[\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n}}-1]$
（3）由（1）知${S}_{n}=\frac{{{a}_{1}（q}^{n}-1）}{q-1}=3（{2}^{n}-1）$
不等式S_n＞ka_n-2，即3（2ⁿ-1）＞k•3×2^n-1-2对任意正整数n恒成立．
可得：$k＜2-\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$对任意正整数n恒成立．
令f（n）=$2-\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$，
根据反比例的性质可知：f（n）随n的增大而增大．
∴当n=1时，f（n）取得最小值为$\frac{5}{3}$．
∴k$＜\frac{5}{3}$．
故得实数k的取值范围是（-∞，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用相消法求数列{b_n}的前n项和是解决本题的关键，属于中档题．