Question

设函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）判断并说明函数的单调性；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论，即可判断；
（2）由函数的奇偶性的定义，即可得到a，再运用变量分离，结合指数函数的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：（1）任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，又∵2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不论a为何值，f（x）总为增函数；
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），a-

2

2-x+1

=a+

2

2x+1

，
解得 a=1，故f（x）=1+

-2

2x+1

在其定义域内是增函数，
当x趋向-∞时，2^x+1趋向1，f（x）趋向-1，当x趋向+∞时，2^x+1趋向+∞，f（x）趋向1，
∴f（x）的值域（-1，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．