Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an+3

2an-4

，求通项a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：令x=

x+3

2x-4

，解得：x=-

1

2

，或x=3，则a_n+1-3=

an+3

2an-4

-3=

-5an+15

2an-4

，a_n+1+

1

2

=

an+3

2an-4

+

1

2

=

2an+1

2an-4

，两式相除，得：

an+1-3

an+1+ 1 2

=

-5an+15

2an+1

=-

5

2

•

an-3

an+ 1 2

，即数列{

an-3

an+ 1 2

}为以-

4

3

为首项，以-

5

2

为公比的等比数列，进而得到数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：令x=

x+3

2x-4

，
解得：x=-

1

2

，或x=3
∴a_n+1-3=

an+3

2an-4

-3=

-5an+15

2an-4

，
a_n+1+

1

2

=

an+3

2an-4

+

1

2

=

2an+1

2an-4

，
∴两式相除，得：

an+1-3

an+1+ 1 2

=

-5an+15

2an+1

=-

5

2

•

an-3

an+ 1 2

，
∵a₁=1，

a1-3

a1+ 1 2

=-

4

3

，
∴数列{

an-3

an+ 1 2

}为以-

4

3

为首项，以-

5

2

为公比的等比数列，
∴

an-3

an+ 1 2

=-

4

3

•(-

5

2

)n-1，
∴解得：a_n=

3- 2 3 •(- 5 2 )n-1

1+ 4 3 •(- 5 2 )n-1

点评：本题考查的知识点是数列递推式，解该类数列题目的方法是不动点法，进而构造方程求出不动点是解答的关键．