Question

若无穷等比数列{a_n}满足：

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=4，则首项a₁的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

a1

1-q

=4⇒q=1-

a1

4

∈（-1，1），从而可求得a₁的取值范围．

解答： 解：依题意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，
∴

a1

1-q

=4，
∴q=1-

a1

4

∈（-1，1），q≠0，
即-1＜

a1

4

-1＜1且

a1

4

-1≠0，
解得0＜a₁＜4或4＜a₁＜8．
故答案为：（0，4）∪（4，8）

点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1-

a1

4

是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．