题目内容
已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：由题设得（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，再由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为c2+b2-a2=bc．再利用余弦定理可求A，利用基本不等式的性质与三角形的面积的计算公式即可得出．
解答：
解：∵a=2，∴（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，即为（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为c2+b2-a2=bc．
∴cosA=
=
，
∵A∈（0，π），
∴A=
．
由c2+b2-a2=bc≥2bc-4．
可得bc≤4．当且仅当b=c=2时取等号．
∴△ABC面积=
bcsinA≤
×4×sin
=
．
∴△ABC面积的最大值为
．
故答案为：
．
（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为c2+b2-a2=bc．
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∵A∈（0，π），
∴A=
| π |
| 3 |
由c2+b2-a2=bc≥2bc-4．
可得bc≤4．当且仅当b=c=2时取等号．
∴△ABC面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
∴△ABC面积的最大值为
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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