题目内容
已知函数f（x）=3sin（ωx+
）的最小正周期为T且满足T∈（1，3），求正整数ω，并根据最小的ω的值求出函数的单调区间及与x轴的交点坐标．
| π |
| 3 |
考点：正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：由条件求得最小的ω的值为3，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数的单调区间，根据正弦函数的对称中心求得函数的图象与x轴的交点坐标．
解答：
解：由题意可得1＜
＜3，求得
＜ω＜2π，故满足条件的正整数ω=3，4，5，6，
故最小的ω的值为3，此时函数f（x）=3sin（3x+
）．
令2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
，k∈z，求得
-
≤x≤
+
，
故函数增区间为[
-
，
+
]，k∈z．
令2kπ+
≤3x+
≤2kπ+
，k∈z，求得
+
≤x≤
kπ+
，
故函数减区间为[
+
，
+
]，k∈z．
令3x+
=kπ，k∈z，求得x=
-
，故函数的图象与x轴的交点坐标为（
-
，0）．
| 2π |
| ω |
| 2π |
| 3 |
故最小的ω的值为3，此时函数f（x）=3sin（3x+
| π |
| 3 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2kπ |
| 3 |
| 5π |
| 18 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 18 |
故函数增区间为[
| 2kπ |
| 3 |
| 5π |
| 18 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 18 |
令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 18 |
| 2kπ |
| 3 |
| 7π |
| 18 |
故函数减区间为[
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 18 |
| 2kπ |
| 3 |
| 7π |
| 18 |
令3x+
| π |
| 3 |
| kπ |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 9 |
| kπ |
| 3 |
| π |
| 9 |
点评：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．
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