Question

如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，BC=

1

2

AD=1，△ABE是等腰直角三角形，EA=EB=2，F，H分别是DE，AB的中点．
（1）求证：CF∥平面ABE
（2）求三棱锥F-DCH的体积．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取DH中点M，连接BM、FM．证明四边形FMBC是平行四边形，通过直线与平面平行的判定定理证明FC∥平面ABE．
（2）取DH中点N，连接FN、EH，证明EH⊥平面ABCD，推出

S△DCH=S梯形ABCD-S△ADH-S△BCH

，求出面积与高，即可求解体积．

解答： （1）证明：如图1，取DH中点M，连接BM、FM．
∵F是DE中点，∴FM是△ADE的中位线，
∴FM∥AD，且MF=

1

2

AD，
又BC∥AD，且BC=

1

2

AD，∴FM∥BC且FM=BC，
∴四边形FMBC是平行四边形，∴FC∥MB．
∵FC?面ABE，MB?面ABE，∴FC∥平面ABE．-------（6分）
（2）取DH中点N，连接FN、EH，
∵F是DE的中点，∴FN∥EH，且FN=

1

2

EH．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，M是AB的中点，∴EH⊥AB
又平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE=AB，EH?平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
∴FN⊥平面ABCD

S△DCH=S梯形ABCD-S△ADH-S△BCH

=

1

2

×(1+2)×2

2

-

1

2

×2×

2

-

1

2

×1×

2

=

3 2

2

．
又FN=

1

2

EH=

2

2

．
∴VF-DCH=

1

3

S△DCH•FN=

1

3

×

3 2

2

×

2

2

=

1

2

-----------------（12分）

点评：本题考查直线与平面培训的判定定理以及几何体的体积的求法，考查计算能力．