Question

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[-

1

2

，1）上的最大值为

3

8

，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：（1）求解导数，利用导函数求极值点，单调区间，判断最值，求出b 的值
（2）g（x）≥-x²+（a+2）x转化为另一个函数的最值问题求解，用好分离参数的方法．

解答： 解：（1）函数f（x）=-x³+x²+b，函数f（x）=-3x²+2x，f（x）=0得x=0，x=

2

3

，
f（x）＞0，0＜x＜

2

3

； f（x）＜0，x＜0或＞

2

3

可知：f（x）在x∈[-

1

2

，1）有[-

1

2

，0），（

2

3

，1）是减区间，（0，

2

3

）是增区间
f（-

1

2

）=

3

8

+b，f（

2

3

）=

4

27

+b，可以判断）

3

8

+b=

3

8

，b=0
所以实数b的值为0
（2）任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x，g（x）=alnx．
a≤

-x2+2x

lnx-x

，设T（x）=

-x2+2x

lnx-x

，x∈[1，e]
T′（X）=

(x-1)(x+2-lnx)

(lnx-x)2

，x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1

点评：本题考查了导数在最值中的应用，用分离参数，构造函数，解决恒成立问题中参变量的范围问题．