Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对?a，b∈R，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1+m）+f（3-2m）≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：分析法,函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数定义，结合条件

f(a)+f(b)

a+b

＞0判断出增函数，比较f（a）与f（b）的大小关系很容易了．
（2）利用单调性转化不等式f（1+m）+f（3-2m）≥0，为m+1≥2m-3，再求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=f（x），
又∵对?a，b∈R，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴对?a，b∈R，当a+b≠0时，

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，即

f(a)-f(b)

a-b

＞0
可判断f（x）为增函数，可知当a＞b时有f（a）＞f（b）成立．
（2）∵f（x）为增函数，且奇函数∴f（1+m）+f（3-2m）≥0可转化为m+1≥2m-3，即m≤4
可知实数m的取值范围为（-∞，4]．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性和不等式的关系，利用转化的方法解决．