Question

设函数f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，则下列结论错误的是（　　）

• A、f（x）不是单调函数
• B、f（x）不是周期函数
• C、f（x）是偶函数
• D、f（x）的值域为{0，1}

Answer 1

考点：函数的概念及其构成要素

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知的函数f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

的解析式，结合函数奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值的确定方法，分别判断四个答案的真假，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，
D（2）=1，D（

2

）=0，D（1）=1，显然函数D（x）不是单调函数，故A正确；
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；
当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；
即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故B中f（x）不是周期函数错误；
当x为有理数时，-x必为有理数，此时f（-x）=f（x）=1；当x为无理数时，-x必为无理数，此时f（-x）=f（x）=0．故C中f（x）是偶函数正确；
函数值域为{0，1}，故D显然正确；
故选：B

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的值及函数的性质，正确理解新定义函数f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

是解答的关键．