Question

由曲线y=x²和直线y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所围城的图形的面积的最小值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  5

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：定积分

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意将曲线y=x²和直线y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所围成的图形的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数，进行判断得出面积的最小值．

解答： 解：设曲线y=x²和直线y=t²交点坐标是（t，t²），
故曲线y=x²和直线y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所围成的面积是：

∫

t 0

（t²-x²）dx+

∫

1 t

（-t²+x²）dx
=（t²x-

1

3

x³）

|

t 0

+（-t²x+

1

3

x³）

|

1 t

=

4

3

t3-t2+

1

3

．
令p=

4

3

t3-t2+

1

3

，
则p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=

4

3

t3-t2+

1

3

在（0，1）先减后增，在t=

1

2

时取到最小值，
故面积的最小值是

4

3

×(

1

2

)3-(

1

2

)2+

1

3

=

1

4

．
故选：D．

点评：本题考查求定积分，解题的关键是将所求面积用积分表示出来，利用积分的定义得到关于变量t的表达式，再研究其单调性求出最值，本题运算量较大涉及到的考点较多，综合性强，运算量大，极易因运算、变形出错．是中档题．