Question

已知等差数列{a_n}公差不为零，前n项和为S_n，且a₁、a₂、a₅成等比数列，S₅=3a₄+4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn=an•(

1

3

)n，求数列{b_n}前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（I）根据等差数列的通项公式和题中的关系，建立首项a₁与公差d的方程组，解之得a₁=1，d=2，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（II）确定数列{b_n}的通项，利用错位相减法，求出数列{b_n}前n项和为T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₅=3a₄+4，
∴5a₁+10d=3（a₁+3d）+4…①（2分）
∵a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²…②（4分）
联解①、②并结合公差d≠0，得a₁=1，d=2．
∴a₁=1+2（n-1）=2n-1．…（6分）
（II）bn=an•(

1

3

)n=（2n-1）•(

1

3

)n，
∴T_n=1•

1

3

+3•(

1

3

)2+…+（2n-1）•(

1

3

)n，
∴

1

3

T_n=1•(

1

3

)2+…+（2n-3）•(

1

3

)n+（2n+1）•(

1

3

)n+1
两式相减，整理可得T_n=

3n-n-1

3n

．

点评：本题给出等差数列满足的关系式，求数列的通项公式并求数列{b_n}前n项和为T_n．着重考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和错位相减法求和方法等知识，属于中档题．