Question

（1）已知函数f（x）=x³-3x，过点P（1，-2）的直线l与曲线y=f（x）相切，求l的方程；
（2）设f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax，当0＜a＜2时，f（x）在1，4上的最小值为-

16

3

，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）设切点为（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，可得切线方程，结合点P，即可求得过点P且与曲线C相切的直线方程；
（2）求导数，确定函数的单调性，从而可求f（x）在该区间上的最大值．

解答： 解：（1）设切点为（x0，

x

3 0

-3x0)，切线的斜率K=f′(x0)=3

x

2 0

-3，…（1分），
则切线L的方程为：y-(

x

3 0

-3

x

0

)=(3

x

2 0

-3)(x-x0)…（2分）
因为过点P（1，-2），所以 -2-

x

3 0

+3x0=(3

x

2 0

-3)(1-x0)，
解得x₀=1或x0=-

1

2

…（4分）
故l的方程为y=-2或 y-(-2)=-

9

4

(x-1)，
即y=-2或9x+4y-1=0…（5分）
（2）令f'（x）=-x²+x+2a=0得x1=

1- 1+8a

2

，x2=

1+ 1+8a

2

，
故f（x）在（-∞，x₁）上递减，在（x₁，x₂）上递增，在（x₂，+∞）上递减…（1分）
当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x₂）…（2分）
又f(4)-f(1)=-

27

2

+6a＜0，即f（4）＜f（1）．
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f(4)=8a-

40

3

=-

16

3

，得a=1，x₂=2…（3分）
故f（x）在1，4上的最大值为f(2)=

10

3

．…（4分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查函数的最值，是一道综合题．