Question

（1）求使得（3x+

1

x x

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中含有常数项的最小的n为？
（2）对于（1）中求得的n，从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派n人组成一个抗震救灾医疗小组，求骨科，脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数？（用数字作答）

Answer 1

考点：二项式定理的应用,排列、组合及简单计数问题,二项式系数的性质

专题：排列组合,二项式定理

分析：（1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n和r的关系，即可求得n的最小值．
（2）分类讨论，不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．

解答： 解：（1）由于（3x+

1

x x

）ⁿ（n∈N^*）的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•（3x）^n-r•（x

x

）-r=3^n-r•

C

r n

•xn-

5

2

r令n-

5

2

r=0，可得 n=

5

2

r，其中r=0，1，2，…n．
故n的最小值为5，
（2）从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，
①3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C₃³C₄¹C₄¹=16种，
②1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C₃¹C₄³C₄¹=48种，
③1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C₃¹C₄¹C₄³=48种，
④2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C₃²C₄²C₄¹=72种，
⑤1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C₃¹C₄²C₄²=108种，
⑥2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C₃²C₄¹C₄²=72种，
共计16+48+48+72+108+72=364种
骨科，脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数：364．

点评：（1）题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．（2）题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．