Question

已知sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

（1）求证：sinα•cosβ=5cosα•sinβ
（2）若已知0＜α+β＜

π

2

，0＜α-β＜

π

2

，求cos2α的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知两式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，相减即可得证；
（2）由sin（α+β）与sin（α-β）的值，利用同角三角函数间基本关系求出cos（α+β）与cos（α-β），由cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]，利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．

解答： （1）证明：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

1

2

，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

1

3

，
∴2sinαcosβ+2cosαsinβ=1①，3sinαcosβ-3cosαsinβ=1②，
②-①得：sinαcosβ-5cosαsinβ=0，
则sinαcosβ=5cosαsinβ；
（2）∵sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，0＜α+β＜

π

2

，0＜α-β＜

π

2

，
∴cos（α+β）=

3

2

，sin（α-β）=

2 2

3

，
则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=

3

2

×

2 2

3

-

1

2

×

1

3

=

2 6 -1

6

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．