题目内容
已知函数f（x）=ln（1+x）-
（a＞0）．
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：（
）2014＜
．
| ax |
| x+1 |
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：（
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| e |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）求导数，要使得f（x）在（0，+∞）内单调递增，只需当x＞0时，f′（x）≥0恒成立，即可求出实数a的值；
（2）要证明：（
）2014＜
，只需证明(
)2014＞e，两边取自然对数，由（1）知f（x）=ln（1+x）-
在（0，+∞）内单调递增，即可得出结论．
（2）要证明：（
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| e |
| 2014 |
| 2013 |
| x |
| x+1 |
解答：
（1）解：因为f（x）=ln（1+x）-
（a＞0），
所以f′（x）=
由题知，要使得f（x）在（0，+∞）内单调递增，只需当x＞0时，f′（x）≥0恒成立
即x+1-a≥0当x＞0时恒成立，则a≤1，
又因a＞0，
所以a的取值范围为（0，1]．…（6分）
（2）证明：要证明：（
）2014＜
，只需证明(
)2014＞e，
两边取自然对数得：2014•ln
＞1，
∴ln（1+
）-
＞0
由（1）知f（x）=ln（1+x）-
在（0，+∞）内单调递增，
而
＞0，则f（
）＞f（0）=0
令x=
得f（
）=ln（1+
）-
，
则f（
）=ln（1+
）-
＞0，即：（
）2014＜
…（14分）
| ax |
| x+1 |
所以f′（x）=
| x+1-a |
| (x+1)2 |
由题知，要使得f（x）在（0，+∞）内单调递增，只需当x＞0时，f′（x）≥0恒成立
即x+1-a≥0当x＞0时恒成立，则a≤1，
又因a＞0，
所以a的取值范围为（0，1]．…（6分）
（2）证明：要证明：（
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| e |
| 2014 |
| 2013 |
两边取自然对数得：2014•ln
| 2014 |
| 2013 |
∴ln（1+
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013+1 |
由（1）知f（x）=ln（1+x）-
| x |
| x+1 |
而
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013 |
令x=
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013+1 |
则f（
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013+1 |
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| e |
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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x＜0}，则A∩B是（ ）
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| B、（-1，1） | ||
C、（0，
| ||
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