Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，b为半径的圆与x轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为

16

5

，则双曲线方程是（　　）

• A、

  5x2

  24

  -

  5y2

  16

  =1
• B、

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• C、

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  16

  -

  y2

  25

  =1

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用中点坐标公式、点到直线的距离公式、双曲线的标准方程及其性质即可得出．

解答： 解：如图所示，
右焦点F（c，0）与右顶点A（a，0）的中点M(

a+c

2

，0)即（b，0）．
∵交点M到渐近线y=

b

a

x的距离为

16

5

，∴

b2

c

=

16

5

．
联立

b2 c = 16 5 a+c=2b c2=a2+b2

，解得a²=9，b²=16，c=5．
因此双曲线的方程为：

x2

9

-

y2

16

=1．
故选：C．

点评：本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、双曲线的标准方程及其性质，属于中档题．