题目内容
已知a、b、c是正数，求证：
+
+
＜a+b+c+3．
| 2a+1 |
| 2b+1 |
| 2c+1 |
考点：不等式的证明
专题：证明题
分析：令t=
+
+
，则t2=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2
•
+2
•
+2
•
，利用基本不等式可求得t2≤6（a+b+c）+9，而易证[（a+b+c）+3]2-[6（a+b+c）+9]＞0，从而可使原结论得证．
| 2a+1 |
| 2b+1 |
| 2c+1 |
| 2a+1 |
| 2b+1 |
| 2a+1 |
| 2c+1 |
| 2b+1 |
| 2c+1 |
解答：
证明：令t=
+
+
，
则t2=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2
•
+2
•
+2
•
，
∵（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）=2（a+b+c）+3，
2
•
+≤（2a+1）+（2b+1），
2
•
+≤（2a+1）+（2c+1），
2
•
≤（2b+1）+（2c+1），
∴t2≤6（a+b+c）+9（当且仅当x=y=z=1时取“=”），
又a、b、c是正数，[（a+b+c）+3]2-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）2+6（a+b+c）+9-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）2＞0，
∴t2＜[（a+b+c）+3]2，
∴t＜a+b+c+3，即
+
+
＜a+b+c+3．
| 2a+1 |
| 2b+1 |
| 2c+1 |
则t2=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2
| 2a+1 |
| 2b+1 |
| 2a+1 |
| 2c+1 |
| 2b+1 |
| 2c+1 |
∵（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）=2（a+b+c）+3，
2
| 2a+1 |
| 2b+1 |
2
| 2a+1 |
| 2c+1 |
2
| 2b+1 |
| 2c+1 |
∴t2≤6（a+b+c）+9（当且仅当x=y=z=1时取“=”），
又a、b、c是正数，[（a+b+c）+3]2-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）2+6（a+b+c）+9-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）2＞0，
∴t2＜[（a+b+c）+3]2，
∴t＜a+b+c+3，即
| 2a+1 |
| 2b+1 |
| 2c+1 |
点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与创新思维、逻辑思维能力，属于难题．
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）cos（x-
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| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
A、T=2π，x=
| ||
B、T=2π，x=
| ||
C、T=π，x=
| ||
D、T=π，x=
|