Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A．如果△APF是边长为4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为

 

，点P的横坐标x_P=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出p=2，且P点的纵坐标y_P=2

3

，由此能求出抛物线的焦点坐标和点P的横坐标．

解答： 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，
P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A．
根据抛物线的定义P点到准线的距离=|PF|，又PF=PA，
所以|PA|就是P点到准线的距离，即PA垂直于l，
∵△APF是边长为4的正三角形，
∴F到准线l的距离为2，即p=2，A到x轴的距离为2

3

，
∴抛物线的焦点坐标为（1，0），
则P点的纵坐标y_P=2

3

，
∴（2

3

）²=2•2•x_P，
解得x_P=3．
故答案为：（1，0），3．

点评：本题考查抛物线的焦点坐标的求法，考查点P的横坐标的求法，是中档题，解题时要注意抛物线的简单性质的合理运用．