Question

函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M，且点M在直线y=mx+n上，其中mn＞0，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用log_a1=0可得函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M（2，1），代入直线y=mx+n可得n，m满足的关系式．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：令x=2，则y=log_a（2-1）+1=1，
∴函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M（2，1），
把点M（2，1）代入直线y=mx+n，可得1=2m+n．
∵mn＞0，∴

1

m

+

1

n

=（2m+n）(

1

m

+

1

n

)=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m • 2m n

=3+2

2

．
当且仅当n=

2

m=

2

-1时取等号．
∴

1

m

+

1

n

的最小值为3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题综合考查了“乘1法”和基本不等式的性质、对数的运算性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．