Question

14．已知正三棱台ABC-A₁B₁C₁的上，下底面边长分别为3cm和6cm，高为$\frac{3}{2}$cm，求正三棱台的表面积和体积．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出三棱台的斜高，分别代入表面积公式和体积公式求解．

解答 解：如图，

连接C₁O₁并延长交A₁B₁于D₁，连接CO并延长交AB于D，
∵等边三角形A₁B₁C₁的边长为3cm，∴${O}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}{C}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$cm，
∵等边三角形ABC的边长为6cm，∴OD=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$cm，
∵${O}_{1}O=\frac{3}{2}$cm，∴${D}_{1}D=\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$cm，
∴正三棱台的表面积为$3×\frac{1}{2}（3+6）×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=$\frac{{99\sqrt{3}}}{4}c{m^2}$，
体积为$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}（\frac{9\sqrt{3}}{4}+9\sqrt{3}+\sqrt{\frac{9\sqrt{3}}{4}×9\sqrt{3}}）$=$\frac{{63\sqrt{3}}}{8}c{m^3}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积，考查计算能力，是中档题．