Question

13．已知集合A={y|y=$\sqrt{a{x}^{2}+2（a-1）x-4}$}=[0，+∞），则实数a的取值范围是[0，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，值域y∈[0，+∞），对a进行讨论，只需函数f（x）=ax²+2（a-1）x-4的值域能[0，+∞）即可满足题意，可得实数a的取值范围．

解答 解：集合A={y|y=$\sqrt{a{x}^{2}+2（a-1）x-4}$}=[0，+∞），值域y∈[0，+∞），
只需函数f（x）=ax²+2（a-1）x-4的值域能取[0，+∞）即满足题意：
对a进行讨论：
当a=0时，f（x）=-2x-4，其值域为R，满足题意；
当a≠0时，要使值域能取[0，+∞），则需满足：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a{x}^{2}+2（a-1）x-4）_{min}≤0}\end{array}\right.$，
解得：a＞0．
综上所得：实数a的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了复合函数值域的恒成立问题，理解题意是关键，属于中档题．