Question

12．已知数列{a_n}是等比数列，且a₂=4，a₅=32，数列{b_n}满足：对于任意n∈N*，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{d_n}满足：d₁=6，d_n•d_n+1=6a•（-$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$（a＞0），设T_n=d₁d₂d₃…d_n（n∈N*），当且仅当n=8时，T_n取得最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a₂=4、a₅=32，利用等差数列性质可知：a₅=a₂•q³=32，即可求得q的值，求得a₁=2，由等比数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）通过a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2与a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2作差，通过a_n=2ⁿ，即可求得数列{b_n}的通项公式，由c_n=d_n•d_n+1，T_n=d₁d₂d₃…d_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{c}_{3}…{c}_{n-1}}&{n为偶数}\\{{d}_{1}{c}_{2}…{c}_{n-1}}&{n为奇数}\end{array}\right.$，由题意可知：当n≤7时，|c_n|＞1，当n≥8时，|c_n|＜1，列方程即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵a₂=4，a₅=32，
由等比数列性质可知：a₅=a₂•q³=32，
∴q³=8，q=2，
∴a₁=2，
∴由等比数列通项公式可知：a_n=2×2^n-1=2ⁿ，
数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
两式相减得：a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-（n-2）•2ⁿ+2=n•2ⁿ，即b_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}}$=n（n≥2），
又∵a₁b₁=2，即b₁=1满足上式，
∴b_n=n；
（2）令c_n=d_n•d_n+1=6a•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ（a＞0），T_n=d₁d₂d₃…d_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{c}_{3}…{c}_{n-1}}&{n为偶数}\\{{d}_{1}{c}_{2}…{c}_{n-1}}&{n为奇数}\end{array}\right.$，
由当且仅当n=8时，T_n取得最大值，
∴|T₂|＜|T₄|＜|T₆|＜|T₈|＞|T₁₀|＞…，|T₁|＜|T₃|＜|T₅|＜|T₇|＞…＞|T₁₁|＞…．
当n≤7时，|c_n|＞1，当n≥8时，|c_n|＜1，
∴6a＞2⁷，即a＞$\frac{64}{3}$，6a＜2⁸，即a＜$\frac{128}{3}$，
∴a的取值范围（$\frac{64}{3}$，$\frac{128}{3}$）．

点评 本题考查等比数列的通项及前n项和，考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．