Question

15．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意的x₁，x₂，当x₁，x₂（x₁≠x₂）∈（0，+∞）时，总有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，并满足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1．
（1）分别求f（1）和f（3）的值；
（2）如果f（x）＜2+f（2-x），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（xy）=f（x）+f（y），令x=$\frac{1}{3}$，y=1，可得f（$\frac{1}{3}$）=f（1）+f（$\frac{1}{3}$），解得f（1）．令x=$\frac{1}{3}$，y=3，又f（$\frac{1}{3}$）=1．可得$f（\frac{1}{3}×3）$=f（$\frac{1}{3}$）+f（3），解得f（3）．
（2）由对任意的x₁，x₂，当x₁，x₂（x₁≠x₂）∈（0，+∞）时，总有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．$f（\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）$=2$f（\frac{1}{3}）$=2．可得f（x）＜2+f（2-x），化为f（x）＜$f（\frac{1}{9}）$+f（2-x）=$f（\frac{2-x}{9}）$，再利用单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），令x=$\frac{1}{3}$，y=1，∴f（$\frac{1}{3}$）=f（1）+f（$\frac{1}{3}$），∴f（1）=0．
令x=$\frac{1}{3}$，y=3，又f（$\frac{1}{3}$）=1．∴$f（\frac{1}{3}×3）$=f（$\frac{1}{3}$）+f（3），∴f（3）=-1．
（2）∵对任意的x₁，x₂，当x₁，x₂（x₁≠x₂）∈（0，+∞）时，总有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
$f（\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）$=2$f（\frac{1}{3}）$=2．
∴f（x）＜2+f（2-x），化为f（x）＜$f（\frac{1}{9}）$+f（2-x）=$f（\frac{2-x}{9}）$，
∴$x＞\frac{2-x}{9}$＞0，
解得$\frac{1}{5}＜x＜2$．
∴x的取值范围是$（\frac{1}{5}，2）$．

点评 本题考查了抽象函数的单调性、函数求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．